Ergebnisse des Mathematik Kontests

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Stadtpark

Laut Beschreibung (so wie ich sie verstehe) sieht der Park so aus:

Der Park ist 4 Ha groß, das entspricht 40000 Quadratmetern. Damit ist die Park-Seitenlänge a = 200 Meter. (weil 200 m mal 200 m = 40000 m²).

Der Durchmesser vom kreisförmigen Weg entspricht genau der Parkseitenlänge a, weil er die Parkkante berührt (siehe Skizze).

Gleichzeitig ist die Diagonale des Seequadrats a (er berührt an den Ecken den Kreis und deshalb haben die beiden den gleichen "Durchmesser").

Dann noch schnell den Pythagoras angewandt (wenn man nicht auswendig weiß, dass die Diagonale eines Quadrats Wurzel aus 2 mal größer ist als der Radius): b²+b²=a² und schon kommt man auf b = a/(Wurzel aus 2).

Und wenn man b dann hat, dann ist es leicht, die Fläche vom See auszurechnen: b² = (a/(Wurzel aus 2))² = a²/2.

Das bedeutet: Die Hälfte der Parkfläche ist See: 2 Ha.

Wie funktioniert ein Rechenschieber?

1. "Gut aber ungenau."
2. Durch manuelles Verschieben des mittleren Teils.
3. Rechenschieber: Person, vorzugsweise Gärtner, die ein Grashalmparallelisierungsgerät falsch benutzt - richtig wäre ziehen (mit Zacken nach unten).
4. Der Rechenschieber (Rechenstab)  

   Der Rechenschieber ist ein mechanisches Rechengerät, das man früher zum schnellen Lösen von Multiplikations- und Divisionsaufgaben, zum Wurzelziehen, Potenzieren und für andere einfache Rechenoperationen verwendete. Ein Rechenschieber besteht aus zwei stabförmigen Hauptteilen. Auf dem sogenannten Körper sind logarithmische Skalen eingeprägt. In der Mitte des Körpers befindet sich der bewegliche Schieber, ein durchsichtiger Läufer mit einer dünnen, aufgedruckten senkrechten Linie. Er erleichtert die genaue Einstellung der Skalen. Die Funktionsweise eines Rechenschiebers besteht im Prinzip aus der "Umformung" aller Berechnungen in einfache Additionen und Subtraktionen, die mit Hilfe von gegeneinander verschiebbaren Skalen (auf dem Körper und auf dem Schieber) gelöst werden können. So kann man mit gleicher Einteilung addieren oder subtrahieren.
    

   Beispielaufgabe:  2+ 4= 6                            abgelesen
                                                                        /                                        
                                               0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10 
                                  0     1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
                                               \
                                               eingestellt

   Auch andere Skalen wie etwa zur Berechnung von Sinus, Cosinus und Tangens sowie für Berechnungen mit dem Wert PI befinden sich ebenfalls auf einem normalen Rechenschieber. Zur Lösung verschiedener Problemstellungen hat man spezielle Rechenschieber entworfen. Allerdings ist der Rechenschieber in der Praxis heutzutage nahezu vollständig durch elektronische Taschenrechner ersetzt worden.

      

Aufgabe 3

Schachbrett

64 = 2n | lg
lg(64) = lg(2n)
lg(64) = n * lg(2) | / lg(2)
n = lg(64) / lg(2)
n = 6

D.h. der Sohn konnte Papas schönes altes Schachbrett in 6 Schnitten in seine Einzelteile (also die 64 Felder) zerteilen.

Ludolfsche Zahl

Wie? O! Dies π
Macht ernstlich so vielen viele Müh'!
Lernt immerhin, Mägdelein (Jünglinge), leichte Verselein,
Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!
[Die transzendent-irrationale LUDOLFsche Zahl
π = 3,14159265358979323846264...]

        Die Maße eines Kreises werden wesentlich durch die Zahl p (Pi) charakterisiert.
        p ist das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises. Man bezeichnet
        p auch als Archimedische Konstante oder als Ludolfsche Zahl.

1. Was ist p

p ist ein griechischer Buchstabe. In der Mathematik stellt er das Symbol für
das Verhältnis des Umfangs u eines Kreises zu seinem Durchmesser d dar :

p = u/d = konstant

p = 3,141 592 653 589 793 238 46 . . .

Die Zahl p wird auch oft als LUDOLFsche Zahl bezeichnet.

2. Die Geschichte von p

Der griechische Mathematiker Archimedes stellte fest, dass der Wert dieser Zahl zwischen
3 10/70 (22/7) und 3 10/71 (223/71) liegen muss. In China wurde 190 n.Chr. diese Zahl auf
fünf Stellen berechnet : 3,14159. Das Symbol p verwendete erstmals 1706 der englische Mathematiker
William Jones. Aber dieses Symbol wurde erst 1737, nachdem der Schweizer Mathematiker
Leonhard Euler es übernommen hatte, in weiten Kreisen gebräuchlich. Der deutsche Mathematiker
Ferdinand Lindemann bewies 1882, dass p eine transzendente Zahl ist - d.h., sie ist nicht Lösung
irgendeiner polynomischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten. Infolgedessen konnte Lindemann
beweisen, dass die Quadratur des Kreises weder algebraisch noch durch Zirkel und Lineal möglich ist.
Obwohl p unendlich viele Dezimalstellen besitzt, also eine irrationale Zahl ist, kann sie beliebig genau
durch eine besondere mathematische Operation, eine Taylor-Reihenentwicklung, ermittelt werden.
Mit Hilfe eines Computers wurde die Zahl p 1989 auf 480 Millionen Stellen berechnet. Im März 1998 wurde
p mit Hilfe eines Verbundes von Hochleistungsrechnern auf 51 Milliarden Stellen hinter dem Komma berechntet.

        Im Jahre 1948, also vor nicht einmal 50 Jahren, kannte die Welt immer noch nicht mehr
        als 808 Stellen. Die weitere Geschichte der Berechnung Pi's ist von der Entwicklung und
        vom Einsatz elektronischer Rechenanlagen geprägt. 1949 berechnete eine Maschine namens
        ENIAC über 2000 Dezimalen und benötigte dafür 70 Stunden; 1959: 10 000 Stellen;
        1961: 100 265 (IBM 7090, 8 Stunden Rechenzeit); 1967: 500 000; 1983: 8 388 608 Stellen
        (HITAC M280H in 6.8 Stunden); 1986: 29 000 000 mit einer Cray; 1987: 133 554 000; 1989 wurde
        die Milliardengrenze überschritten: 1 073 740 000 Dezimalen; 1997 segnete uns Yasumasa Kanada
        mit 51 539 600 000 Nachkommastellen (Rechendauer: 29 Stunden).

The calculation of π also figures in the Star Trek episode "Wolf in the Fold," in which Captain Kirk
and Mr. Spock force an evil entity (composed of pure energy and which feeds on fear) out of the
starship Enterprise's computer by commanding the computer to "compute to the last digit the
value of pi," thus sending the computer into an infinite loop.

π has recently (Sep. 20, 1999) been computed to a world record 206.158.430.208 decimal digits
by Y. Kanada (Kanada, Plouffe). This calculation was done using Borwein's fourth-order convergent
algorithm and required 46 hours on a massively parallel 1024-processor Hitachi SR8000
supercomputer. The largest number of digits of π computing using a PC is
6.442.450.944 decimal digits by S. Kondo on Jan. 13, 2000 (Gourdon).

Die Schätzungen gehen also auseinander - Zahlen zum Aussuchen gibt's genug, ich nehm' die "206.158.430.208 decimal digits by Y. Kanada".

Abschließend noch ein netter Link: Die Sinnlosigkeit von Pi

Für die Pi-Fans: Die Zahl Pi

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Aufgabe 4

Freitag, der 13.

Schaltjahr: nein
Erster Tag des Jahres: Montag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Nichtschaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Montag ist: 2

Schaltjahr: nein
Erster Tag des Jahres: Dienstag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Nichtschaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Dienstag ist: 2

Schaltjahr: nein
Erster Tag des Jahres: Mittwoch

Anzahl der "Freitag, der 13." in Nichtschaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Mittwoch ist: 1

Schaltjahr: nein
Erster Tag des Jahres: Donnerstag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Nichtschaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Donnerstag ist: 3

Schaltjahr: nein
Erster Tag des Jahres: Freitag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Nichtschaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Freitag ist: 1

Schaltjahr: nein
Erster Tag des Jahres: Samstag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Nichtschaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Samstag ist: 1

Schaltjahr: nein
Erster Tag des Jahres: Sonntag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Nichtschaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Sonntag ist: 2

Schaltjahr: ja
Erster Tag des Jahres: Montag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Schaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Montag ist: 2

Schaltjahr: ja
Erster Tag des Jahres: Dienstag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Schaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Dienstag ist: 1

Schaltjahr: ja
Erster Tag des Jahres: Mittwoch

Anzahl der "Freitag, der 13." in Schaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Mittwoch ist: 2

Schaltjahr: ja
Erster Tag des Jahres: Donnerstag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Schaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Donnerstag ist: 2

Schaltjahr: ja
Erster Tag des Jahres: Freitag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Schaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Freitag ist: 1

Schaltjahr: ja
Erster Tag des Jahres: Samstag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Schaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Samstag ist: 1

Schaltjahr: ja
Erster Tag des Jahres: Sonntag

Anzahl der "Freitag, der 13." in Schaltjahren, wenn der 1. Jänner ein Sonntag ist: 3

Conclusio:

Jedes Jahr hat zwischen 1 und 3 Freitage, die auf einen 13. fallen

Eulersche Zahl

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